把自然常数踢下历史舞台！

我认为全世界教科书应该把 $e^x$ 统统改成 $\exp x$ 然后把 $e$ 给删掉。

我发誓这不是多管闲事

首先，把不是整数的东西放在指数上，意义本就不明朗。要严格定义 $a ^ b: \R \to \R \to \R$ 这个运算本来就需要非常非常高深的魔法，但 $\frac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x} = ky$ 明明是个非常简单的东西。这种小题大做的事情非常令人不爽。

其次， $e$ 的值 $2.718\dots$ 没有什么现实意义。很多科普视频都是这么解释的：“为什么叫‘自然’？因为哪儿哪儿都有它。”固然没错，但明显差口气。比较以下两种说法：

Python 为何是人工智能模型层面的“标配”语言？

因为你写什么东西都要用到它。

Python 的 module 很完备。它经由活跃社群的维护，功能相当齐全。此外，Python 的语言设计易读易写，上手迅速。

再说，你细看视频里各种含 $e$ 的公式会发现： $e$ 怎么永远不单走，全都是 $e$ 的指数幂？确实。 $e$ 没用。 $\exp$ 这个映射才有用。可能会有人拿 $e$ 的某些特殊性质反驳这一点。我也承认， $e$ 确实有长得还算漂亮的性质。但这不意味着它特殊到我需要专门让出一个字母专门给它用。

做个类比：假如说有人定义“自然角度” $\alpha = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ$ 。它有弧长 = 半径这样的特殊性质，但除此之外也就是个平平无奇的角，几何性质远远少于 $60^\circ$ 角。弧度制确实优越，但 $\alpha$ 一无是处。所以我们说弧度时不会惦记 $\alpha$ 。比如，我们说某个角是 $\pi$ 弧度，或者说它的 $\frac{\text{弧长}}{\text{半径}}$ 是 $\pi$ ，但不会说它是 “ $\alpha$ 的 $\pi$ 倍”。

我抱着同样的动机希望把 $e$ 降级。这样，放射性衰变是 $N\!\left( t \right) = N_0 \exp\!\left(-\lambda t \right)$ ，而不需要说 “ $e$ 的 $-\lambda t$ 次方”。正如几何中用不到 $\alpha$ ，现实中也用不上 $e$ 。

最后， $e$ 对于 $\exp$ 而言只是个媒人。中学数学对“幂”比较熟悉，而 $e^x$ 把 $\exp$ 表现成了幂的形式，从而让熟悉幂的人认识了 $\exp$ 。可是现在情况是：明明现实问题和 $\exp$ 关系更紧密，我却丢不了 $e$ 这个媒人。这不别扭吗？

坏处之一是，媒人能走到哪，我最远也只能跟到哪。媒人去不了的地方，哪怕是 $\exp$ 能轻松解决的，我也去不了。举个具体例子，试问 $e^{\tiny \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ 这个幂它合理吗？这是媒人无法涉足的地方。但如果我能抓住 $\exp$ 更本质的性质而不借助媒人，我就能说： $\exp \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 是一个以 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 为角速度的旋转，因而结果是 $\begin{bmatrix} \cos 1 & -\sin 1 \\ \sin 1 & \cos 1 \end{bmatrix}$ 。（方矩阵的指数映射确实如此表现。）

总之， $e$ 的定义本身就是错失本质。通过重新定义，我希望抓住更本质、更通用、更易推广的性质。

看我发挥！！

我们可以完全沿着牛顿和莱布尼茨发明微积分的思路，把 $\exp$ 从无到有（合理地）重新发明出来。

定「积」分

两位大神从现实问题中捕捉到了一种共性，于是发明了定积分。那我举这个例子：

那家银行抽了风，用函数 $I\!\left( t \right)$ 表示每时每刻的利率。没错，你还是要计算你一年能赚多少。

假如说，我在 $t_0$ 时刻存钱，然后 $t_1, t_2, \cdots, t_{n-1}, t_n$ 时刻各取一次。那我的本息和是：

\begin{align*} q =& \left[ 1 + I\!\left( t_{n-1} \right) \cdot \left( t_n - t_{n-1} \right) \right] \\ \cdot& \left[ 1 + I\!\left( t_{n-2} \right) \cdot \left( t_{n-1} - t_{n-2} \right) \right] \\ \cdot& \ \dots \\ \cdot& \left[ 1 + I\!\left( t_1 \right) \cdot \left( t_2 - t_1 \right) \right] \\ \cdot& \left[ 1 + I\!\left( t_0 \right) \cdot \left( t_1 - t_0 \right) \right] \end{align*}

由此给出累乘定积分的定义：

已知 $S$ 是环，且有 $\R \to S$ 的环同构，则：

对于 $f : \R \to S$ ，给定 $\left[ l, r \right)$ 区间，把它细分为 $\left[ x_0, x_1 \right), \cdots, \left[ x_{n-1}, x_n \right)$ 小区间（ $x_0 = l, x_n = r$ ）。定义 $f$ 在 $l..r$ 上的累乘定积分：
$\overset{\times}{\int_l^r} f\!\left( x \right) \operatorname d\!x ≝ \lim_{\text{(无限细分)}} \prod_{i \in \left[ 0, n \right)} \left[ 1 + f\!\left( x_i \right) \cdot \left( x_{i + 1} - x_i \right) \right]$
若 $S$ 不满足乘法交换律， $\prod$ 按 $i$ 从小到大将各项依次从右往左排。